La suma de los números impares

 Después de hacer una ingeniería pensaba que lo que me quedaba por saber de matemáticas eran temas avanzados o relativamente raros, pero esta semana he descubierto una relación que no recuerdo haber sabido nunca. La suma de los números impares es un cuadrado perfecto. Es decir:

1 + 3 = 4 = 2 x 2

1 + 3 + 5 = 9 = 3 x 3

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 x 4

Y así sucesivamente.

La demostración gráfica es preciosa:

El punto negro es 1. Para hacer un cuadrado hay que añadir tres puntos rojos. Para crear un cuadrado más grande hay que añadir 5 puntos verdes. Y para ir ampliando el cuadrado siempre hay que ir añadiendo el mismo número de puntos que antes más dos. Y el número de puntos totales es un cuadrado perfecto. Luego la suma de los impares es siempre un cuadrado perfecto.

La demostración algebraica es algo más complicada, pero también bonita. Primero hay que lograr la fórmula de una suma de enteros. Esto lo dedujo Gauss y la fórmula es muy estética. Llamemos S a la suma de n número de enteros consecutivos:

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n

Si lo ordenamos en el sentido contrario:

S = n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1

Si sumamos ambas expresiones término a término:

2S = (n+ 1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+ 1) + (n+1) + (n+1) 

Y en definitiva:

2S = n(n+1)

Y:

S = n(n+1)/2

Ahora bien, la suma que buscamos no es de todos los enteros, sino de los impares Generalicemos la expresión anterior:

Ahora vamos a definir la suma de impares. Para ello basta con usar la expresión (2i-1), así el primer término es 1, el segundo es 3, etc.

Y, ¿a cuánto es igual esta expresión? Fácil:

Como queríamos demostrar.

Libros mes de julio

 Este mes he leído:

• El cuerpo humano: guía para ocupantes - Bill Bryson ***** : El genial Bill Bryson, con su estilo cercano y fácil, hace un recorrido por el cuerpo humano, lo que se sabe de él, la historia de cómo se sabe y las enfermedades que nos acechan. Muy interesante sabe lo poco que se sabe de algunas cosas, como por ejemplo que el picor no tiene explicación o que el cáncer tiene mecanismos para evitar ser detectado por el sistema inmune. Muy recomendable.
• Dune - Frank Herbert ****· : Me había leído Dune en su día (de hecho los seis libros de la saga original) y no había vuelto a repasarlo. Ahora, con motivo de la nueva película, he decidido darle un repaso. El libro es intenso y, aunque lo recordaba mejor, me ha vuelto a gustar bastante. Muy profundo en todo lo que pasa y en todos sus personajes. Recuerdo que el resto de la saga no merecía la pena así que dejo mi relectura aquí.
• Fugitive telemetry - Martha Wells ***** : Una nueva novela corta sobre los Murderbot Diaries de Martha Wells. De nuevo, muy bueno. Se le da mejor este tipo de relatos, relativamente cortos, que novelas más largas como la última que me leí. El personaje sigue siendo genial y el universo en el que lo sitúa, con las corporaciones controlándolo todo, muy interesante.
• El nombre del mundo es bosque - Ursula K. Le Guin ***·· : No me parece el mejor trabajo de Ursula K. Le Guin, quizá la historia sobre el choque entre dos culturas (una alienígena y la terrícola) no es la más interesante. Aún así no es mal libro.

Películas y series mes de julio

 Este mes he visto:

• Puñales por la espalda ***** : Buenísima película de detectives donde nada es lo que parece, con una historia inverosimil pero a la vez divertida. Daniel Craig haciendo de detective es muy bueno, nada que ver con James Bond. Merece mucho la pena.
• Jojo Rabbit ***** : Superextraña película  sobre un niño en la Alemania Nazi. Curiosamente es de humor con toques muy trágicos. Pero merece la pena con un elenco de actores impresionante.

Y en series:

• Bron - Temporada 1 ***** : Una serie sueco-danesa que transcurre entre Malmö y Copenhague, cuya referencia es el puente que une ambas ciudades (de ahí el nombre de la serie, Bron, que significa puente en sueco). La serie es sobre dos policías, uno de cada ciudad, que investigan conjuntamente una serie de asesinatos. Es bastante inverosimil pero los personajes están muy bien y muestran la cara más sórdida de las sociedades danesas y suecas. Merece mucho la pena.
• Bron - Temporada 2 ****· : Algo más inverosimil que la primera pero aún así me ha gustado esta segunda temporada. El centro de la trama sigue siendo el mismo, en esta ocasión otro caso distinto que hace colaborar de nuevo a la policía danesa y sueca. Los personajes siguen su evolución.