Un problema ingenieril, otro matemático (Solución)

El otro día propuse un problema ingenieril y otro matemático, ambos relacionados. Aquí os doy la solución, a la que al final llegué con un poquito más de esfuerzo del que había realizado hasta la fecha.

Los datos son:

y=1+jb
S

Y lo que queremos obtener es b=f(S).

Bien, lo primero es plantear las ecuaciones:

S=(1+|ρ|)/(1-|ρ|)

ρ=(z-1)/(z+1)=(1-y)/(y+1)

Y ahora a operar:

ρ=(1-1-jb)/(1+1+jb)=-jb/(2+jb)

Vamos a quitar el número complejo del denominador, que eso es muy feo, multiplicando arriba y abajo por el conjugado del denominador:

ρ=-jb(2-jb)/(4+b²)

Ahora sacamos el valor absoluto porque hay que insertarlo en la fórmula de S.

|ρ|=b*sqrt(b²+4)/(4+b²)

Ahora lo metemos en la fórmula de S:

S=[4+b²+b*sqrt(b²+4)]/[4+b²-b*sqrt(b²+4)]

Divido arriba y abajo por sqrt(b²+4):

S=[sqrt(b²+4)+b]/[sqrt(b²+4)-b]

Bien, aquí es donde había llegado yo el otro día y es cuando escribí la entrada anterior. Y despejar b de esta ecuación era el segundo problema que planteé, el problema matemático.

Para despejar b hay que juntar las raíces cuadradas en un lado de la ecuación y el resto en la otra:

(S-1)*sqrt(b²+4)=b(S+1)

Elevo al cuadrado:

(S-1)²(b²+4)=b²(S+1)²

Pongo en un lado los términos b² y en otro lado los independientes:

b²[(S+1)²-(S-1)²]=4(S-1)²

Desarrollo lo que hay entre corchetes:

[(S+1)²-(S-1)²]=S²+1+2S-S²-1+2S=4S

Y por tanto:

b²=(S-1)²/S

b=+-(S-1)/sqrt(S)

Que es la solución. Tenemos que para un valor dado de ROE podemos tener dos soluciones: una inductiva y una capacitiva.

Por cierto, la solución sería la misma para z=1+jx, donde x=+-(S-1)/sqrt(S).

Ahora escribo otra entrada en la que hable de aplicaciones prácticas de este problemita :) Y el por qué de trabajar con admitancias en lugar de con impedancias si la solución es exactamente la misma.


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